Stochastic models of tumour development and related mesoscopic equations

Автор(и)

  • D. Finkelshtein Department of Mathematics, Swansea University,, Велика Британія
  • M. Friesen Department of Mathematics, Bielefeld University, Німеччина
  • H. Hatzikirou Center for Advancing Electronics, Technische Universität Dresden, Німеччина
  • Yu. Kondratiev Department of Mathematics, Bielefeld University, Німеччина
  • T. Kruüger Faculty of Electronics, Wroclaw University of Technology, Польща
  • O. Kutoviy Department of Mathematics, Bielefeld University, Німеччина

DOI:

https://doi.org/10.31392/2307-4515/2015-7.1

Анотація

We consider different mathematical models inspired by the problems of medicine, in particular, the tumour growth and the related topics. We demonstrate how to starting from an individual-based (microscopic) description, which characterizes cells’ behaviour, derive the socalled kinetic (mesoscopic) equations, which describe the approximate system density. Properties of the solutions to the mesoscopic equations (in particular, their long-time behaviour) reflect statistical characteristics of the whole system and demonstrate the corresponding dependence on the system parameters.

Посилання

S. Albeverio, Yu. Kondratiev, and M. R¨ockner. Analysis and geometry on configuration spaces. J. Funct. Anal., 154(2):444–500, 1998.

V. Bezborodov. Markov birth-and-death dynamics of populations. arXiv:1502.06783 [math.PR], 2015.

V. Bezborodov. Spatial birth-and-death markov dynamics of finite particle systems. arXiv:1507.05804 [math.PR], 2015.

C. Berns, Yu. Kondratiev, and O. Kutoviy. Markov Jump Dynamics with Additive Intensities in Continuum: State Evolution and Mesoscopic Scaling. J. Stat. Phys., 161(4):876–901, 2015.

D. Finkelshtein, Yu. Kondratiev, and O. Kutoviy. Individual based model with competition in spatial ecology. SIAM J. Math. Anal., 41(1):297–317, 2009.

D. Finkelshtein, Yu. Kondratiev, and O. Kutoviy. Vlasov scaling for stochastic dynamics of continuous systems. J. Stat. Phys., 141(1):158–178, 2010.

D. Finkelshtein, Yu. Kondratiev, and O. Kutoviy. Semigroup ap- proach to birth-and-death stochastic dynamics in continuum. J. Funct. Anal., 262(3):1274–1308, 2012.

D. Finkelshtein, Yu. Kondratiev, and O. Kutoviy. Establishment and fecundity in spatial ecological models: statistical approach and kinetic equations. Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top., 16(2):1350014, 24, 2013.

D. Finkelshtein, Yu. Kondratiev, and M.-J. Oliveira. Markov evolu- tions and hierarchical equations in the continuum. II: Multicompo- nent systems. Rep. Math. Phys., 71(1):123–148, 2013.

J. Garnier. Accelerating solutions in integro-differential equations. SIAM J. Math. Anal., 43(4):1955–1974, 2011.

N. L. Garcia and T. G. Kurtz. Spatial birth and death processes as solutions of stochastic equations. ALEA Lat. Am. J. Probab. Math. Stat., 1:281–303, 2006.

Yu Jin and X.-Q. Zhao. Spatial dynamics of a periodic population model with dispersal. Nonlinearity, 22(5):1167–1189, 2009.

Yu. Kondratiev and T. Kuna. Harmonic analysis on configuration space. I. General theory. Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top., 5(2):201–233, 2002.

Yu. Kondratiev and O. Kutoviy. On the metrical properties of the configuration space. Math. Nachr., 279(7):774–783, 2006.

Yu. Kondratiev, O. Kutoviy, and S. Pirogov. Correlation functions and invariant measures in continuous contact model. Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top., 11(2):231–258, 2008.

Yu. Kondratiev and A. Skorokhod. On contact processes in continuum. Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top., 9(2):187– 198, 2006.

B. Simon and M. Reed. Methods of Modern Mathematical Physics, volume 4. 1978.

S. N. Ethier and T. G. Kurtz. Markov Processes: Characterization and Convergence. 2005.

H. R. Thieme and J. Voigt. Stochastic semigroups: their construction by perturbation and approximation. In Positivity IV—theory and applications, pages 135–146. Tech. Univ. Dresden, Dresden, 2006.

H. Yagisita. Existence and nonexistence of traveling waves for a nonlocal monostable equation. Publ. Res. Inst. Math. Sci., 45(4):925– 953, 2009.

Y. Kondratiev and Yu. Kozitsky The microscopic dynamics of a spatial ecological model. arXiv:1507.07517 [math.DS], 2015.

##submission.downloads##

Опубліковано

2015-12-18

Номер

№ 7 (2015)

Розділ

Математичнi моделi складних систем

Ліцензія

Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:

    1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
    2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
    3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).