Про суперфрактальність множини суттєво анормальних чисел для факторіального розкладу

Автор(и)

  • Юлія Волошин Український державний університет імені Михайла Драгоманова, Україна https://orcid.org/0009-0009-3555-4250
  • Вадим Міський Український державний університет імені Михайла Драгоманова, Україна https://orcid.org/0009-0005-0913-7200
  • Роман Нікіфоров Український державний університет імені Михайла Драгоманова, Україна https://orcid.org/0000-0001-9553-3157
  • Дмитро Пихтар Український державний університет імені Михайла Драгоманова, Україна
  • Григорій Торбін Український державний університет імені Михайла Драгоманова, Україна https://orcid.org/0000-0003-3088-1614

DOI:

https://doi.org/10.31392/iscs.2025.27.072

Ключові слова:

фрактали, розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича, DP перетворення, локально тонкi системи покриттiв, довiрчi системи покриттiв, розклади Кантора, випадковi величини з незалежними символами розкладів Кантора, сингулярнi ймовiрнiснi мiри, суттєво анормальнi числа, факторiальний розклад, анормальнi числа, нормальнi числа

Анотація

Стаття присвячена дослiдженню фрактальних властивостей розподiлiв випадкових величин з незалежними символами факторiального розкладу та застосуванню отриманих результатiв в метричнiй та розмiрнiснiй теорiї чисел. Ми доводимо, зокрема, що для майже всiх (в сенсi мiри Лебега) дiйсних чисел з одиничного вiдрiзка частота νi0(x) довiльного символа i0 дорiвнює нулю: νi0(x)=0, ∀i0 ∈ {0,1,2,…,k,…} =: N0.

З iншого боку, ми доводимо, що множина суттєво анормальних чисел (тобто тих дiйсних чисел, якi не мають частоти жодного символа i0 ∈ N0) для факторiальної системи числення є суперфрактальною множиною (тобто множиною нульової мiри Лебега i максимальної (1) розмiрностi Хаусдорфа-Безиковича).

Посилання

Albeverio, S., Garko, I., Ibragim, M., Torbin, G. 2017. Non-normal numbers: full Hausdorff dimensionality vs zero dimensionality. Bulletin des Sciences Mathématiques, 141, no. 2. P. 1-19.

Albeverio, S., Ivanenko, G., Lebid, M., Torbin, G. 2020. On the Hausdorff dimension faithfulness and the Cantor series expansion. Methods of Functional Analysis and Topology, 26, no. 4. P. 298-310.

Albeverio, S., Kondratiev, Yu., Nikiforov, R., Torbin, G. 2014. On fractal properties of non-normal numbers with respect to Rényif-expansions generated by piecewise linear functions. Bull. Sci. math., 138. P. 440-455.

Albeverio, S., Kondratiev, Yu., Nikiforov, R., Torbin, G. 2017. On new fractal phenomena connected with infinite linear IFS. Mathematische Nachrichten, 290, no. 8-9. P. 1163-1176.

Albeverio, S., Koshmanenko, V., Pratsiovytyi, M., Torbin, G. 2011. On fine structure of singularly continuous probability measures and random variables with independent Q-symbols. Methods Funct. Anal. Topol., 17, no. 2. P. 97-111.

Albeverio, S., Lupain, M., Nikiforov, R., Torbin, G. 2024. On preservation of singularity, absolute continuity and discreteness under transformations of probability spaces. Interdisciplinary Studies of Complex Systems, 25. P. 5-15.

Albeverio, S., Pratsiovytyi, M., Torbin, G. 2004. Fractal probability distributions and transformations preserving the Hausdorff-Besicovitch dimension. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 24, no. 1. P. 1-16.

Albeverio, S., Pratsiovytyi, M., Torbin, G. 2008. Transformations preserving the Hausdorff-Besicovitch dimension. Central European Journal of Mathematics, 6, no. 1. P. 119-128.

Albeverio, S., Pratsiovytyi, M., Torbin, G. 2005. Topological and fractal properties of subsets of real numbers which are not normal. Bull. Sci. math., 129, no. 8. P. 615-630.

Albeverio, S., Pratsiovytyi, M., Torbin, G. 2005. Singular probability distributions and fractal properties of sets of real numbers defined by the asymptotic frequencies of their s-adic digits. Ukrainian Mathematical Journal, 57, no. 9. P. 1263-1281.

Albeverio, S., Torbin, G. 2005. Fractal properties of singularly continuous probability distributions with independent Q*-digits. Bull. Sci. Math., 129, no. 4. P. 356-367.

Baek, I.S., Olsen, L. 2010. Baire category and extremely non-normal points of invariant sets of IFS’s. Discrete Contin. Dyn. Syst., 27, no. 3. P. 935-943.

Barreira, L., Saussol, B., Schmeling, J. 2002. Distribution of frequencies of digits via multifractal analysis. Isr. J. Math., 97, no. 2. P. 410-438.

Barreira, L., Schmeling, J. 2000. Sets of “non-typical” points have full topological entropy and full Hausdorff dimension. Isr. J. Math., 116. P. 29-70.

Eggleston, H.G. 1949. The fractional dimension of a set defined by decimal properties. Quart. J. Math. Oxford Ser., 20. P. 31-36.

Hyde, J., Laschos, V., Olsen, L., Petrykiewicz, I., Shaw, A. 2010. Iterated Cesaro averages, frequencies of digits, and Baire category. Acta Arith., 144, no. 3. P. 287-293.

Olsen, L. 2004. Applications of multifractal divergence points to sets of numbers defined by their N-adic expansion. Math. Proc. Camb. Philos. Soc., 136, no. 1. P. 139-165.

Olsen, L. 2004. Applications of multifractal divergence points to some sets of d-tuples of numbers defined by their N-adic expansion. Bull. Sci. Math., 128. P. 265-289.

Olsen, L., Winter, S. 2003. Normal and non-normal points of self-similar sets and divergence points of self-similar measures. J. Lond. Math. Soc., 67, no. 1. P. 103-122.

Pratsiovytyi, M., Torbin, G. 1995. Superfractality of the set of numbers having no frequency of n-adic digits, and fractal probability distributions. Ukrainian Mathematical Journal, 47, no. 7. P. 1113-1118.

Šalát, T. 1966. A remark on normal numbers. Rev. Roum. Math. Pures Appl., 11. P. 53-56.

Torbin, G. 2002. Fractal properties of the distributions of random variables with independent Q-symbols. Transactions of the National Pedagogical University (Phys.-Math. Sci.), 3. P. 241-252.

Torbin, G. 2005. Multifractal analysis of singularly continuous probability measures. Ukr. Math. J., 57, no. 5. P. 837-857.

Torbin, G. 2007. Probability distributions with independent Q-symbols and transformations preserving the Hausdorff dimension. Theory Stoch. Process., 13. P. 281-293.

Василенко, В., Вороненко, О., Пихтар, М., Торбiн, Г. 2023. Про довiрчiсть системи Q*-цилiндрiв для обчислення розмiрностi Хаусдорфа-Безиковича. Interdisciplinary Studies of Complex Systems, 23. P. 70-76.

Василенко, В., Мiський, В., Торбiн, Г. 2024. Умови фрактальної довiрчостi для сiм’ї цилiндрiв, породжених Q-зображенням дiйсних чисел. Interdisciplinary Studies of Complex Systems, 25. P. 38–49.

##submission.downloads##

Опубліковано

2026-04-02

Номер

№ 27 (2025)

Розділ

Проблеми фізико-математичних наук

Ліцензія

Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:

    1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
    2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
    3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).